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前几天，我们在“学好力学是学好高中物理的重要基础，受力分析则是解决力学问题的首要环节——这根木棒受哪些力？”一文中已经看到，弹力、摩擦力作为被动力有时候不好分析，想解出大小更是不容易。今天，我们将继续见识弹力、摩擦力作为被动力的复杂性，来具体探讨“一根均匀棒在半球形碗内处于静止平衡状态时，受到的弹力及摩擦力是怎样的”。
首先，给大家提供一篇曾发表在《物理教学探讨》1994年第12期上的题为“再剖析均匀棒在半球形碗中的静止平衡及受力”的文章：
再剖析均匀棒在半球形碗中的静止平衡及受力
山西省浑源中学(037400) 贾培清
关于均匀棒在半球形容器中的静止平衡及受力问题，在《物理教学探讨》杂志93年第1期“谈静摩擦力”一文中提到过，在该杂志94年第4期李尚节老师“浅析均匀棒静止在半球形容器受静摩擦力的方向”一文中详细论述过。关于这个问题，虽然***已在“谈静摩擦力”一文的基础上作了进一步的较全面的分析，但读了之后总觉得还不够深刻、彻底。因此笔者认为对该问题还有进一步深刻剖析的必要。1、均匀棒比较短，其两端点均在碗内。设棒长为L，棒重为G，半球形碗的半径为r，且L</2r。（1）无摩擦如果半球形碗及均匀棒都光滑，即不考虑一切摩擦，则由对称性知，棒放人碗中达静止平衡状态时，棒必水平，如图1所示，此时只要G、L、r已知，即可求出弹力NA、NB。图1
（2）有摩擦
如果考虑棒与碗问的摩擦，则棒在碗中静止时，既可水平，也可倾斜，其受力如图2(a)、(b)所示。
（a） （b）
图2
在图2(a)中，因棒水平，故不具有运动趋势，也就不受静摩擦力作用，并且只要G、L、r三个量已知，则弹力NA、NB即可求出。
在图 2(b)中，因棒不水平(若要无摩擦，必水平)，故有变成水平的趋势，于是受到如图所示静摩擦力。此时，即使G、L、r三个量已知，甚至棒与水平方向夹角θ也已知，也不能把NA、fA、NB、fB四个力均求出，因为由棒的平衡条件只能列出三个***的方程。2、均匀棒比较长，只有一端在碗内设棒重为G，棒长为L，碗半径为r，且，棒AB放于碗中，其一端A在碗内，另一端在碗外，设棒AB与水平面夹角为θ。
（关于上边的，下边有个简单说明）
（1）无摩擦如果不考虑一切摩擦，则棒AB在碗中处于静止平衡态时，所受力为重力G、弹力NA和NB，如图3所示，这属于三力平衡问题，因这三个力不平行，故必为共点力。图中点C为均匀棒重心，点C′即为三个力作用线的交点。图3
在图3中运用几何知识及三角知识，可以推出式子：4rcos2θ﹣Lcosθ=0（也可以写为，限于篇幅只给出结论）。意即无摩擦时，力G、NA、NB共点，三个量L、r、θ必满足一定的关系（4rcos2θ=Lcosθ），如果L、r已知，则由这个关系便可求出，cosθ的取值范围是，角θ的范围是0≤θ≤θm，。
可知，当θ→0时，L有最大值Lm=4r；通过物理分析和数学推导可知，当L最小时，棒伸出碗口外的长度接近于零，这时θ满足，L的最小值为，因而L应满足
运用棒的平衡条件，还可进一步求出弹力NA与NB。可见只要给定G、L、r，则角θ、力NA、NB均唯一确定，也就是说，给定的均匀棒在给定的碗中，其平衡位置（不计摩擦）是唯一的、可确定的，当然棒A端在碗中的位置也唯一确定。（2）有摩擦
考虑棒与碗间的摩擦，这便是***“浅析均匀棒静止在半球形容器中守静摩擦力的方向”一文中的情形。其中，***总结道：“均匀棒在半球形容器中处于静止状态时，其受到的静摩擦力方向是不确定的，有几种可能性。它由均匀棒静止前的动态（放入的棒不静止），或是均匀棒放入后的运动趋势（放入则静止）决定”。笔者认为，关于“均匀棒静止前的动态”如何，唯有做实验才可知道，对于给定的一个理论问题，是无法判断的；而关于“均匀棒放人后的运动趋势”如何，从图上是无法看出来的，对此，***没有作理论分析，而是由假想的棒的运动趋势来确定静摩擦力方向。
那么，关于“均匀棒在半球形碗中处于静止平衡态时所受静摩擦力的方向”的问题，在理论上该如何解决呢？笔者的分析是这样的：在给定的问题中，棒重G、棒长L、棒与水平面夹角θ及半球形碗半径的r均是给定的。根据前边的分析，对于给定的L与r，当不计摩擦时，均匀棒必静止于θ0位置（θ0为棒与水平面夹角），且θ0满足。而现在由于摩擦作用，故棒静止平衡于θ位置（θ角是题目给定的），根据θ与θ0的关系便可推知棒的运动趋势，进而即可确定棒所受静摩擦力的情况：若θ=θ0，则棒恰好不受静摩擦力作用，如图4(a)；图4（a）
若θ>/θ0，则棒在碗中有运动趋势（即角θ有减小为θ0的趋势），必受静摩擦力作用，如图4(b)；
图4（b）
若θ</θ0，则棒在碗中也有运动的趋势（即角θ有增大为θ0的趋势），必受静摩擦力作用，如图4(c)。
图4（c）
由此可见，关于均匀棒在半球形碗中所受静摩擦力的方向问题，可以在理论上进行如上所述的分析，从而得出正确的结论。但是，对于受摩擦力的情形，仅由G、L、r、θ去求棒所受的弹力NA、NB和摩擦力fA、fB（共四个未知力）却会遇到困难，因为根据棒的平衡条件，仅能列出三个***的方程，自然解不出四个未知量。这就是说，此时四个力NA、NB、fA、fB的大小是不确定的。实际上，均匀棒在A、B两处只要有一处受到静摩擦力作用就可能在某一位置（给定了G、L、r、θ）处于静止平衡状态（当然，此时弹力与摩擦力三个未知力是可以求出的）。
（全文完）
下边，我们再提供几道典型试题：
例题一、如图所示，光滑的半球形碗内放置一根重力为G的筷子，O为碗口的圆心，A、B为接触点，且∠OAB=30°，若筷子与水平方向夹角为30°，则筷子在A、B处受到的弹力大小分别为（）
这道题来源于2018届上海市金山区高三上学期一模（期末）物理试题第11题。参考答案是选A。
例题二、在半球形光滑碗内斜放一根筷子，如图所示，筷子与碗的接触点分别为A、B，则下列说***确的是（ ）
A．碗对筷子在A点处的作用力方向竖直向上
B．碗对筷子在B点处的作用力方向指向球心
C．碗对筷子在A点处的作用力方向指向球心O
D．碗对筷子在B点处的作用力方向垂直于筷子斜向上
这道题来源于江西省景德镇市乐平中学2022-2023学年高一上学期11月期中物理试题。参看答案是选CD。
例题三、半径为 R内壁光滑的半球形碗固定放置在水平地面上，O是球心，碗的边缘A、B 两点的连线是碗的水平直径，一质量为m的均匀硬杆放置在B、C两点间处于静止状态，硬杆很细，B、C两点也是硬杆的两端点，硬杆的受力分析如图所示，已知C点对硬杆的弹力与硬杆的夹角为θ，且A、B、C三点处在竖直的半圆面上，重力加速度为g，求：
（1）硬杆的长度；
（2）B点对硬杆的弹力大小以及C点对硬杆的弹力大小。
这道题来源于2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟（上）物理试题（一）。参考答案是：（1）2Rcosθ；（2）
例题四、一根粗细均匀的木棒斜靠在竖直墙壁上，墙壁光滑，地面粗糙。木棒受到的重力为G，墙壁对木棒的弹力为F，如图所示。现让木棒的倾斜程度变小一些至虚线所示位置，木棒仍能静止斜靠在墙上。则与原来相比，G和F变化情况为（ ）
A．G不变，F变小 B．G不变，F变大
C．G变化，F变小 D．G变化，F变大
这道题来源于2020年湖南省株州市中考物理试题。参考答案是选B。
例题五、一根粗细均匀的木棒AB斜靠在竖直墙壁上，墙壁光滑，地面粗糙。木棒受到的重力为G=240N，墙壁对木棒的弹力为FA，如图甲所示。
（1）为求解FA大小，请在图甲中选择合适的支点，确定动力和阻力，并作出动力和阻力的力臂；
（2）图甲中OA=3m，OB=4m，求FA的大小；
（3）现让木棒的倾斜程度变小一些，如图乙所示，木棒仍能静止斜靠在墙上。请分析FA变化情况。
这道题来源于安徽省亳州市2022-2023学年九年级上学期期末物理试题。参考答案是：（1）见解答；（2）160N；（3）当α减小时，tanα减小，则FA减小。上边例题四与例题五虽然是中考试题或者中考模拟题，比较简单，但高一年级的学生解答也不一定顺利，通过有理有据的规范的解答这些题目，也同样能够更好的理解和掌握相关的知识，并且更便于领会解题的思路和方法，认识弹力、摩擦力的被动性，也应该更有利于增强学生继续学习和解题的信心。免责声明：
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